基础数学示例

$3 s^{3} + 16 s^{2} + 13 s - 19 \div s + 4$

解题步骤 1

将除式重写为分数形式。

$3 s^{3} + 16 s^{2} + 13 s - \frac{19}{s} + 4$

解题步骤 2

要将 $3 s^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{s}{s}$ 。

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{3} s}{s} - \frac{19}{s} + 4$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{3} s - 19}{s} + 4$

解题步骤 4

通过指数相加将 $s^{3}$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $s$ 。

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 (s \cdot s^{3}) - 19}{s} + 4$

解题步骤 4.2

将 $s$ 乘以 $s^{3}$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 (s^{1} s^{3}) - 19}{s} + 4$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{1 + 3} - 19}{s} + 4$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$16 s^{2} + 13 s + \frac{3 s^{4} - 19}{s} + 4$

解题步骤 5

要将 $16 s^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{s}{s}$ 。

$13 s + \frac{16 s^{2} s}{s} + \frac{3 s^{4} - 19}{s} + 4$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$13 s + \frac{16 s^{2} s + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

通过指数相加将 $s^{2}$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 7.1.1

移动 $s$ 。

$13 s + \frac{16 (s \cdot s^{2}) + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

解题步骤 7.1.2

将 $s$ 乘以 $s^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$13 s + \frac{16 (s^{1} s^{2}) + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

解题步骤 7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$13 s + \frac{16 s^{1 + 2} + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

解题步骤 7.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$13 s + \frac{16 s^{3} + 3 s^{4} - 19}{s} + 4$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$13 s + \frac{3 s^{4} + 16 s^{3} - 19}{s} + 4$

解题步骤 7.3

使用有理根检验法因式分解 $3 s^{4} + 16 s^{3} - 19$ 。

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解题步骤 7.3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 19$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 7.3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 19, \pm 6.\overline{3}$

解题步骤 7.3.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$3 \cdot 1^{4} + 16 \cdot 1^{3} - 19$

解题步骤 7.3.3.2

对 $1$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \cdot 1 + 16 \cdot 1^{3} - 19$

解题步骤 7.3.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + 16 \cdot 1^{3} - 19$

解题步骤 7.3.3.4

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 + 16 \cdot 1 - 19$

解题步骤 7.3.3.5

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$3 + 16 - 19$

解题步骤 7.3.3.6

将 $3$ 和 $16$ 相加。

$19 - 19$

解题步骤 7.3.3.7

从 $19$ 中减去 $19$ 。

$0$

解题步骤 7.3.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $s - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 s^{4} + 16 s^{3} - 19}{s - 1}$

解题步骤 7.3.5

用 $3 s^{4} + 16 s^{3} - 19$ 除以 $s - 1$ 。

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解题步骤 7.3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

解题步骤 7.3.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 s^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $s$ 。

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

解题步骤 7.3.5.3

将新的商式项乘以除数。

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

解题步骤 7.3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 s^{4} - 3 s^{3}$ 中的所有符号

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

解题步骤 7.3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

解题步骤 7.3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 s^{3}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

解题步骤 7.3.5.7

将被除数中的最高阶项 $19 s^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $s$ 。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

解题步骤 7.3.5.8

将新的商式项乘以除数。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

解题步骤 7.3.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $19 s^{3} - 19 s^{2}$ 中的所有符号

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

解题步骤 7.3.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

解题步骤 7.3.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

解题步骤 7.3.5.12

将被除数中的最高阶项 $19 s^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $s$ 。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

解题步骤 7.3.5.13

将新的商式项乘以除数。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

解题步骤 7.3.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $19 s^{2} - 19 s$ 中的所有符号

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

解题步骤 7.3.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

解题步骤 7.3.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

解题步骤 7.3.5.17

将被除数中的最高阶项 $19 s$ 除以除数中的最高阶项 $s$ 。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

解题步骤 7.3.5.18

将新的商式项乘以除数。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$19 s$

$19$

解题步骤 7.3.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $19 s - 19$ 中的所有符号

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$19 s$

$19$

解题步骤 7.3.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 s^{3}$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$s$

$1$

$3 s^{4}$

$16 s^{3}$

$0 s^{2}$

$0 s$

$19$

$3 s^{4}$

$3 s^{3}$

$19 s^{3}$

$0 s^{2}$

$19 s^{3}$

$19 s^{2}$

$0 s$

$19 s^{2}$

$19 s$

$19$

$19 s$

$19$

$0$

解题步骤 7.3.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19$

解题步骤 7.3.6

将 $3 s^{4} + 16 s^{3} - 19$ 书写为因数的集合。

$13 s + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

解题步骤 8

求公分母。

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解题步骤 8.1

将 $13 s$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{13 s}{1} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

解题步骤 8.2

将 $\frac{13 s}{1}$ 乘以 $\frac{s}{s}$ 。

$\frac{13 s}{1} \cdot \frac{s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

解题步骤 8.3

将 $\frac{13 s}{1}$ 乘以 $\frac{s}{s}$ 。

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + 4$

解题步骤 8.4

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + \frac{4}{1}$

解题步骤 8.5

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{s}{s}$ 。

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + \frac{4}{1} \cdot \frac{s}{s}$

解题步骤 8.6

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{s}{s}$ 。

$\frac{13 s \cdot s}{s} + \frac{(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)}{s} + \frac{4 s}{s}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{13 s \cdot s + (s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19) + 4 s}{s}$

解题步骤 10

化简每一项。

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解题步骤 10.1

通过指数相加将 $s$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 10.1.1

移动 $s$ 。

$\frac{13 (s \cdot s) + (s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19) + 4 s}{s}$

解题步骤 10.1.2

将 $s$ 乘以 $s$ 。

$\frac{13 s^{2} + (s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19) + 4 s}{s}$

解题步骤 10.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(s - 1) (3 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s + 19)$ 。

$\frac{13 s^{2} + s (3 s^{3}) + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3

化简每一项。

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解题步骤 10.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{13 s^{2} + 3 s \cdot s^{3} + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.2

通过指数相加将 $s$ 乘以 $s^{3}$ 。

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解题步骤 10.3.2.1

移动 $s^{3}$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 (s^{3} s) + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.2.2

将 $s^{3}$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 10.3.2.2.1

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{13 s^{2} + 3 (s^{3} s^{1}) + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{3 + 1} + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + s (19 s^{2}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s \cdot s^{2} + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.4

通过指数相加将 $s$ 乘以 $s^{2}$ 。

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解题步骤 10.3.4.1

移动 $s^{2}$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 (s^{2} s) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.4.2

将 $s^{2}$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 10.3.4.2.1

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 (s^{2} s^{1}) + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{2 + 1} + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + s (19 s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s \cdot s + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.6

通过指数相加将 $s$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 10.3.6.1

移动 $s$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 (s \cdot s) + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.6.2

将 $s$ 乘以 $s$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + s \cdot 19 - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.7

将 $19$ 移到 $s$ 的左侧。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 \cdot s - 1 (3 s^{3}) - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 1 (19 s^{2}) - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.9

将 $19$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 1 (19 s) - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.10

将 $19$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 19 s - 1 \cdot 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.3.11

将 $- 1$ 乘以 $19$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 19 s - 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.4

合并 $3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s^{2} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s^{2} - 19 s - 19$ 中相反的项。

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解题步骤 10.4.1

从 $19 s^{2}$ 中减去 $19 s^{2}$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s - 3 s^{3} + 0 - 19 s - 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.4.2

将 $3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s - 3 s^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} + 19 s - 3 s^{3} - 19 s - 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.4.3

从 $19 s$ 中减去 $19 s$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} - 3 s^{3} + 0 - 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.4.4

将 $3 s^{4} + 19 s^{3} - 3 s^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 19 s^{3} - 3 s^{3} - 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 10.5

从 $19 s^{3}$ 中减去 $3 s^{3}$ 。

$\frac{13 s^{2} + 3 s^{4} + 16 s^{3} - 19 + 4 s}{s}$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{3 s^{4} + 16 s^{3} + 13 s^{2} + 4 s - 19}{s}$

基础数学 示例

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